O Teorema de Pitágoras foi provado pelo filósofo e matemático grego Pitágoras, que viveu entre 570 a.C. e 497 a.C. Apesar de ter sido o primeiro a comprovar a teoria, é possível que as relações entre os lados de um triângulo retângulo teriam sido descobertas pelos babilônicos, muito antes de Pitágoras provar seu teorema.
Sendo o autor ou não, Pitágoras conseguiu elaborar uma fórmula geral, que vale para qualquer triângulo retângulo. Antes de falarmos da fórmula do teorema de pitágoras, vamos analisar cada elemento de um triângulo retângulo.
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O triângulo retângulo
O triângulo retângulo de segmento ΔABC é formado por:
Dois catetos (b e c), que são os lados menores e que formam o ângulo reto de 90o;
Uma hipotenusa (a), que é o maior lado, e está oposta ao ângulo reto;
Dois ângulos agudos, que somados ao ângulo reto, totalizam 180o, como qualquer outro triângulo.
Como calcular Teorema de Pitágoras
Pitágoras sabia que existiam relações entre o comprimento de cada lado de um triângulo retângulo. Após realizar estudos, ele conseguiu comprovar seu teorema, que diz o seguinte:
A soma dos quadrados do comprimento dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa, para qualquer triângulo retângulo.
Se pegarmos o triângulo acima, podemos escrever o teorema de pitágoras em linguagem matemática. Veja:
Fórmula Teorema de Pitágoras
Sabemos que os catetos são b e c, logo, seus quadrados serão b2 e c2.
A hipotenusa está representada por a, logo, seu quadrado será a2
Se a soma de b2 e c2 é igual a a2, então:
b2 + c2 = a2
Essa é a fórmula do Teorema de Pitágoras!
Mas como ele chegou a esse resultado?
Pitágoras observou que, se desenhasse um quadrado com lado de cada cateto do triângulo retângulo, e somasse as suas áreas, o resultado seria igual á área de um quadrado desenhado com lado da hipotenusa.
Na imagem acima, podemos verificar um triângulo retângulo no centro, e o desenho dos quadrados ao lado dos catetos e da hipotenusa. Vamos calcular a área de cada quadrado:
Quadrado menor – Se um lado mede 3, todos os lados tem o mesmo tamanho, portanto, sua área será a multiplicação da sua altura pela largura, ou seja, 3 x 3 = 9. A área do quadrado menor é 9
Quadrado médio – Se um lado mede 4, então sua área será 4 x 4 = 16
A soma desses dois quadrados será igual ao tamanho do quadrado maior: 9 + 16 = 25.
Se calcularmos a área do quadrado maior a partir do tamanho do lado, teremos 5 x 5 = 25
Pronto, está aí a relação entre os lados do triângulo. Se aplicarmos a fórmula elaborada por Pitágoras, ficaremos com o mesmo resultado:
b2 + c2 = a2
42 + 32 = 52
16 + 9 = 25
25 = 25
Essa fórmula do teorema de pitágoras é muito útil caso um dos lados do triângulo tenha seu tamanho desconhecido.
Exercício resolvido Teorema de Pitágoras – ENEM
Essa pergunta envolve noções de plano cartesiano e teorema de Pitágoras. Contudo, vamos analisar cuidadosamente cada parte do enunciado:
A trajetória do balanço é representado pelo plano cartesiano de eixos x e y. A origem, ou seja, o eixo 0, está localizada no topo do suporte da balança.
Se colocarmos um plano cartesiano sobre o desenho, com o eixo 0 no topo, teremos a seguinte imagem:
E se não tivesse nenhuma criança, e a corda, sempre esticada, seguisse o trajeto completo? Veja como seria a trajetória:
Observe que a trajetória da corda forma um círculo, dessa forma, podemos pegar qualquer ponto x,y dessa circunferência e determinar a parte do gráfico na função. Vamos exemplificar:
Aqui, temos somente o plano cartesiano, a trajetória da corda, e um ponto x,y dessa trajetória. A área tracejada dos pontos tem uma forma familiar, você consegue identificar? Isso mesmo, quando dividida, a área forma dois triângulos retângulos, é aqui que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
Obs: Qualquer ponto x,y retirado da trajetória da circunferência irá formar um par de triangulos retângulos congruentes.
Vamos relembrar? A fórmula do teorema é a seguinte: A² + B² = C² (a soma dos quadrados dos catetos é igual à hipotenusa)
Resolvendo o teorema
Já podemos substituir os termos pelas informações da questão. O primeiro valor é a medida da corda, 2 metros, que é a hipotenusa. Não temos os valores dos catetos, mas essa não é a intenção dessa questão.
O enunciado pede somente a parte do gráfico que corresponde à trajetória da corda, portanto, manteremos x e y para os catetos e o 2 para a hipotenusa, e ficaremos com o seguinte:
x² + y² = 2²
Primeiramente, para determinar a função, temos f(x) = y, portanto, vamos calcular a potência e isolar o y (lembre-se que o x² passará a ser um valor negativo):
y² = 4 – x²
Estamos chegando lá! Vamos novamente isolar o y. Costumamos dizer que tudo o que se faz de um lado da igualdade, também deve ser feito do outro, nesse caso, vamos aplicar a raiz quadrada, de forma que a potência do y seja eliminada:
y = √ 4 – x²
Resposta Exercício
Será que já é possível responder? Vejamos as opções:
Bom, temos uma opção que se encaixa. Se f(x) = y, então f(x) = √ 4 – x², certo?
Seria, se não houvesse um pequeno detalhe. Lembra-se no enunciado da questão, dizendo que a criança nunca iria se balançar a ponto de ficar na posição horizontal? E lembra-se que o ponto 0 é o topo da balança?
Podemos concluir, então, que a criança sempre vai se balançar em uma posição negativa, sempre abaixo do ponto 0 no plano cartesiano, portanto, f(x) = – √ 4 – x².
Afinal, a opção correta é a D.
Gostou do nosso texto sobre como calcular o Teorema de Pitágoras ? Que tal aprender agora sobre o Teorema de Tales: Como fazer Exercícios e Problemas.
