Para entender como calcular seno, cosseno e tangente vamos entender as definições de cada um.
O objetivo da trigonometria é o cálculo das medidas de cada elemento de um triângulo retângulo (lados e ângulos) e suas propriedades. Para calcular essas medidas, é necessário saber alguns conteúdos, que são essenciais para estudar as razões trigonométricas. Vamos explicar um pouco desses conteúdos:
Ângulo: é a figura formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto. A unidade de medida dos ângulos é o comprimento do círculo, que corresponde a 360 graus, ou 360°. Os ângulos são classificados conforme a sua medida em graus, e podem ser:
Rasos, quando sua medida é igual a 180°;
Retos, quando a medida é igual a 90°;
Agudos, se a medida for menor que 90°;
Ou obtusos, se sua medida for maior que 90°, e menor que 180°.
O triângulo retângulo: é a figura geométrica que têm três ângulos, sendo um deles um ângulo reto, ou seja, possui 90°. Os dois lados que formam esse ângulo reto são chamados de catetos, e o lado que fica à frente desse ângulo é a hipotenusa. Os outros dois ângulos serão agudos, e soma deles será sempre 90°.
Contents
O que é seno, cosseno e tangente?
As relações que existem entre os lados do triângulo retângulo e os seus ângulos são chamadas de funções trigonométricas, entre elas estão o seno, cosseno e a tangente.
Veja a figura abaixo. Nela, temos a hipotenusa representada por a, um dos catetos representados por b e o outro cateto representado por c. Temos ainda o ângulo reto, e os dois ângulos agudos, representados por α e β.
O seno de um ângulo agudo é dado pela divisão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa;
Sen α = b/a
Sen β = c/a
O cosseno de um ângulo agudo é o resultado da divisão entre o cateto próximo a ele (adjacente) e a hipotenusa.
Cos α = c/a
Cos β = b/a
Obs: O seno e o cosseno serão sempre valores entre 0 e 1, pois a medida dos catetos sempre será menor que a medida da hipotenusa.
A tangente de um ângulo agudo é a divisão entre os catetos. O resultado é sempre um númeral real positivo.
Tg α = b/c
Tg β = c/b
Outras propriedades:
- O seno do ângulo α é igual ao cosseno do ângulo β
- O cosseno do ângulo α é igual ao seno do ângulo β
- A tangente do ângulo α é igual à divisão de 1 pela tangente de β
- A tangente de α é igual à divisão do seno pelo cosseno do mesmo ângulo
tg α = sen α / cos α
- A tangente de β também é igual à divisão do seno pelo cosseno do seu ângulo
tg β = sen β / cos β
Existem alguns ângulos, que por aparecerem frequentemente nos cálculos, são chamados de ângulos notáveis. Esses ângulos possuem o valor do seno, cosseno e tangente já calculados, conforme a tabela abaixo:
| Ângulo | Seno | Cosseno | Tangente |
| 30 | 1/2 ou 0,5 | √3/2 ou 0,86602 | √3/3 ou 0,57735 |
| 45 | √2/2 ou 0,70710 | √2/2 ou 0,70710 | 1 |
| 60 | √3/2 ou 0,86602 | 1/2 ou 0,5 | √3 ou 1,73205 |
Você também pode encontrar tabelas com os valores para todos os ângulos.
Como calcular seno, cosseno e tangente
Veja como calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo de um triângulo retângulo cujas medidas dos lados são, por exemplo, 5, 4 e 3cm:
Sabemos que sen α= b/a
b = 3
c = 4
a = 5
Aplicando esses valores na fórmula, o valor de Sen α será:
sen α= 3/5
sen α= 0,6
E se tivermos apenas o valor de sen α, como calcular o cosseno e a tangente?
Para isso, utilizamos a seguinte fórmula:
sen α² + cos α² = 1
Substituindo sen α pelo valor encontrado, que é 0,6, teremos a seguinte expressão:
0,6² + cos α² = 1
0,36 + cos α² = 1
O valor de 0,36 passa a ser negativo no outro lado da igualdade
cos α² = 1 – 0,36
cos α² = 0,64
Para chegar ao valor final, o expoente passa para o outro lado da igualdade como raiz
cos = √0,64
cos = 0,8
Pronto! Chegamos ao valor do cosseno, que é 0,8. Para chegar ao valor da tangente, basta usar uma das propriedades (A tangente de α é igual à divisão do seno pelo cosseno do mesmo ângulo):
tg α = sen α/cos α
tg α = 0,60/ 0,8
tg α = 0,75
Portanto, para um triângulo retângulo, cujos lados medem 3, 4 e 5 cm, o ângulo possui os valores de 0,6 para o seno, 0,8 para o cosseno e 0,75 para a tangente.
Agora, que tal treinar suas habilidades matemáticas e calcular o valor de seno, cosseno e tangente para o ângulo β desse triângulo?
Exercício Resolvido – Enem 2011
Como primeiro dado, temos que o ângulo é 30o. Com isso, já podemos calcular o ângulo 2, que será 60o (2 x 30 = 60). Você já sabe que uma das propriedades de um triângulo é que a soma de seus ângulos internos será sempre 180 graus. Mas temos aqui apenas um ângulo interno e um ângulo externo, como saber os outros ângulos?
Veja, o ângulo externo 2 mede 60 graus. Para saber o ângulo interno, basta subtrair 60 de 180, que é a medida de um ângulo reto. Logo, 180 – 60 = 120. Está aí, um dos ângulos internos faltantes é 120 graus.
Agora, basta somar esse ângulo com o outro já conhecido, para determinar o valor do ultimo ângulo restante. Já que a soma dos ângulos é sempre 180, então 120 + 30 – 180 = 30. Agora temos todos os ângulos do triângulo, você consegue adivinhar que tipo de triângulo ele forma?
Um triângulo que possui dois ângulos internos com o mesmo valor só pode ser isóceles, logo, os dois lados que formam o ângulo maior possuem a mesma medida. O triângulo ficará com as seguintes medidas:
Calculando a menor distância
O barco seguirá na mesma trajetória, em linha reta, até que atinja a menor distância entre a praia e sua localização. Qual será a menor distância?
É simples, a menor distância entre um ponto e uma reta paralela a esse ponto é sempre uma reta perpendicular! Abaixo, a linha vermelha representa essa reta.
Pronto, se retirarmos o primeiro triângulo, ficaremos com um triângulo retângulo. Já sabemos que um de seus ângulos agudos é 60° (2). Agora, somamos o ângulo agudo de 60° com o ângulo reto de 90° e subtraímos 180. Chegaremos ao valor do outro ângulo agudo, de 30°. Sabemos também que a hipotenusa mede 2000m. Vamos chamar a linha vermelha de d, é esse valor que queremos descobrir.
Para saber a distância d, podemos utilizar o cosseno de 30°, que é a divisão do cateto adjacente desse ângulo pela hipotenusa.
cos 30°: √3/2 (Veja na tabela de ângulos notáveis)
cateto adjacente: d
hipotenusa: 2000m
Na fórmula:
√3/2 = d/2000
Aplicando a multiplicação distributiva, teremos:
2d = 2000√3
Agora, o 2 passa ao outro lado da igualdade dividindo:
d = 2000√3 / 2
d = 1000√3
E a resposta correta é a opção B, a menor distância será 1000√3
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– Clique aqui para baixar alguns exercícios de seno e cosseno.
