Logaritmo é útil nos mais diversos problemas matemáticos. Para entender o que é logaritmo, e como resolver uma operação que envolva logaritmo é muito importante saber potenciação. Se você não sabe potenciação dê uma olhada no nosso artigo: Potenciação – Regras, Propriedades e Exercícios
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O que é logaritmo?
A palavra vem do latim logos (razão) e arithemos (números). A palavra logaritmo foi utilizada pela primeira vez por John Napier, no século XVI. Ele estudava uma forma de simplificar os cálculos enormes, com vários números, e que demandavam cada vez mais tempo, principalmente aqueles utilizados na astronomia e na navegação.
A intenção era criar uma ferramenta que substituísse os cálculos de multiplicação e divisão, pelos mais simples, de soma e subtração. Com isso, nasceu a primeira ideia do que seria o logaritmo.
Os cálculos de Napier foram estudados por diversos matemáticos, que descobriram uma relação na progressão entre termos de aumento variado e termos de aumento constante. Veja a sequência:
| Progressão Geométrica | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | N x 2 |
| Progressão Aritmética | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | n +1 |
Na primeira linha, os números sofrem uma progressão geométrica, pois a diferença entre um termo anterior e o próximo não é a mesma. Já na linha abaixo, o aumento é constante, pois a diferença entre os termos é sempre 1.
Compreender progressão aritmética e geométrica, bem como potenciação, é essencial para compreender os logaritmos.
Essa tabela, baseada nos estudos de Napier, indica que os termos da progressão aritmética são os respectivos logaritmos da progressão geométrica. Na progressão geométrica, o próximo termo é multiplicação do termo anterior por um número constante. Veja: 2×2 = 4; 4×2 = 8; 8×2 = 16. Esse número constante é chamado de base do logaritmo:
| Progressão Geométrica | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 2n |
| Progressão Aritmética | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | n |
Escrevendo na forma de logaritmo, teremos, por exemplo, Log2 32 = 5, o logaritmo de 32, na base 2 é igual a 5, porque 25 = 32. Os valores que são o resultado da potência, nesse caso, o 32, é chamado de logaritimando, e o valor do expoente é o logaritmo, que aqui, é o valor 5.
Se para definir potência, dizemos que x a = y, então o logaritmo dela é Log y x = a, sendo y sempre maior que 1 e x sempre maior que 0.
xa = y <> Log y x = a
Potência Logaritmo
Mas, com esses cálculos simples, porque Napier ainda queria facilitar? Tente fazer uma tabela de progressão aritmética com outros números, por exemplo, de 3 em 3. Veja como fica a tabela:
| Progressão Geométrica | 27 | 729 | 19.683 | 3n |
| Progressão Aritmética | 3 | 6 | 9 | n |
Não é mais fácil escrever os números em forma de potência? 33, 36, 39 … Isso acontece da mesma forma com os logaritmos, para fazer o cálculo inverso.
Mas, havia um problema com essa forma de calcular o logaritmo. Não era possível explicar o logaritmo de 1, em qualquer base que fosse aplicado. Com isso, Henry Briggs auxiliou Napier, e acordaram que o logaritmo de 1 seria 0, e o logaritmo de 10 seria 1, com isso, nasceu o conceito dos logaritmos como conhecemos hoje, o Logaritmo de base 10. Dessa forma, poderia encontrar o logaritmo de todos os números.
Como calcular o Logaritmo de Base 10?
Para calcular o logaritmo de qualquer número, é necessário recordar a fórmula, mas a base será sempre 10. Não será necessário indicar a base na fórmula, ou seja, log10 2 = x , será descrito simplesmente como log 2. Veja como calcular:
Log 2 <> 10 n = 2
Precisamos encontrar o valor de n. Sabendo que:
210 = 1024 (2x 2=4x 2=8x 2=16x 2 =32x 2 =64x 2 =128x 2 = 256x 2= 512x 2= 1024), utilizaremos o valor aproximado de 1000.
Consideraremos que 210 é igual a 1000 para podermos utilizar outro número com potência. 1000 é o resultado de 103 (10×10 = 100x 10= 1000). Como estamos calculando expoentes, utilizaremos então a potência 103.
Dividiremos os dois expoentes por 10, para então chegar ao logaritmo de 2.
2 10 / 10 = 10 3 / 10
2 = 10 0,3
Log 2 = 0,3
Pronto! O logaritmo de 2 é 0,3, pois 10 elevado a 0,3 é igual a 2.
Para calcular logaritmos de outros números, com base fracionada ou com raiz quadrada, é necessário aplicas as propriedades operatórias dos logaritmos.
Exercício resolvido de logaritmo
Resolução
Temos, nessa questão, a informação da aproximação para Log2, que é 0,3. Considerando isso, logo 100,3 = 2
A meia-vida do Césio-137 é de 30 anos, portanto, primeiro devemos calcular qual é a sua massa em meia-vida. A é a massa inicial, portanto, calcularemos A para determinar a meia-vida. Na expressão, os valores serão os seguintes:
t = 30
0,5 A = A . (2,7) k . 30 <> 0,5 = (2,7) k . 30 <0,5> 1/30 = (2,7) k
Nota: Lembrando que 1/2 ou 0,5 são a mesma coisa. Aqui usaremos a forma decimal devido a uma questão técnica do site.
Esse resultado demonstra a massa do Césio-137 em meia vida, agora, vamos calcular a expressão que indica 10%:
t1 é o tempo para que o Césio-137 chegue a 10% de sua massa
M(t1) = 1/10A
M é a massa, já calculada na expressão anterior, logo, se M é igual a (2,7)t, e (2,7)t é igual a (0,5) 1/30 , então M = (0,5) 1/30. Portanto, vamos substituir o M na expressão por (0,5) 1/30:
[(0,5)1/30] t1 = 1/10
Aplicamos a distributiva de t1 nos colchetes, e eliminamos a fração em 1/10, a expressão ficará assim:
2 – 1/30 = 10-1
Aqui, já podemos aplicar Log2, que é igual a 0,3 conforme o enunciado da questão. Também podemos aplicar o Log10-1. Você já viu que o logaritmo de 10 é 1, como ele está elevado a -1, o log10 será -1.
0,3 – 1/30 = -1
Para eliminar a fração, o valor de 30 passará ao outro lado da igualdade, sendo multiplicado por -1. teremos:
t1 . 0,3 = – 30 . -1
t1 . 0,3 = 30
t1 = 30 / 0,3
t1 = 100
Chegamos à resposta! O tempo necessário para que a massa de Césio-137 seja reduzida a 10% de sua massa é de 100 anos. Opção E.
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