Equação de 2° grau – Fórmula de Bhaskara e Como calcular

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Equação 2° grau - Fórmula de Bhaskara e Exercícios

Você sabe o que é IMC? No entanto, sabia que o IMC é uma equação de 2°  grau? Já precisou calcular o seu?

O IMC é o Índice de Massa Corpórea, e é a relação entre seu peso e altura. E a sua fórmula é considerada uma equação de 2° grau. Dependendo do resultado desse índice, ele pode indicar se uma pessoa está no peso ideal para a sua altura.
Veja a fórmula do IMC:

IMC = peso / altura . altura

A fórmula desse índice se parece muito com uma expressão matemática, muito cobrada no Enem. Você já sabe qual é?

A fórmula do IMC é uma Equação de segundo grau!

O que é uma equação de 2° grau?

Uma equação de 2° grau é uma expressão matemática que apresenta uma incógnita com expoente 2.

Diferente da equação de primeiro grau, cuja incógnita não possui nenhuma potência, na equação de segundo grau, o x está elevado à segunda potência (x2), e por isso, a equação passa a ser de 2° Grau.

As equações de 2° Grau podem aparecer de quatro formas diferentes:

ax2 = 0
ax2 + c = 0
ax2 + bx = 0
ax2 + bx + c = 0

Somente esta última é considerada uma equação de 2° grau completa.

Veja que a incógnita x pode aparecer mais de uma vez na equação, mas em pelo menos uma delas, ela estará elevada a segunda potência. Os valores de a, b e c são valores conhecidos, e são chamados de coeficientes da equação. O valor de “a” sempre vai ser diferente de 0, pois se fosse 0, o x2 seria um valor inexistente. Veja alguns exemplos:

3x2 = 0
x2 + 2 = 0
2x2 - x = 0
x2 - 2x + 1 = 0

Lembre-se, para representar uma incógnita que tem o coeficiente 1, somente a incógnita é exibida, pois o 1 fica implícito nela. Não é necessário escrever 1×2, 1x, por exemplo.

Como calcular uma equação de 2° grau?

Para resolver uma equação de 2° Grau, utilizamos algumas técnicas. A melhor técnica para resolver uma equação vai depender do formato que essa equação apresenta. Vamos exemplificar com uma forma básica, para uma equação incompleta.

Considere a seguinte equação de 2° grau:

x² – 16 = 0

Você já sabe que, ao passar um termo de uma equação para o outro lado da igualdade, sua operação é invertida. Nesse caso, vamos passar o -16, que se torna um valor positivo:

x² = 0 + 16

Obs: O 0 pode ser eliminado já nessa primeira operação, mas foi mantido aqui para descrever o passo a passo da resolução.

x² = 16

Agora, para resolver essa etapa, precisamos saber a operação inversa da potência.

Se um número, elevado a segunda potência, é igual a 16, qual é o segredo do 16 para se transformar nesse número?

É simples, basta aplicar uma raiz quadrada, que é a operação inversa da potência, e assim, podemos descobrir o valor de x:

x = √16
x = 4

Mas, ainda não acabou! Vamos relembrar um pouco das regras de potenciação?

Regras de potenciação

Quando temos uma potência, cuja base é negativa, o seu valor será positivo ou negativo, dependendo do grau do expoente. Se o expoente for par, a potência com base negativa terá o valor do resultado positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo, por exemplo:

-4² = 16
-4³ = -64

A questão aqui é que, como na equação de 2° grau, o expoente sempre vai ser par (2), então o valor de x pode ser positivo ou negativo:

Se o x fosse -4, o resultado seria o mesmo:

-4² = 16

Logo, dois valores são os possíveis resultados para a equação: +4 ou -4, ou, na forma convencional, ±4.
Reformulando o resultado da equação, teremos:

x² = 16
x = ±√16
x = ±4

E quando o resultado da raiz não for um número inteiro, como √10, por exemplo? Nesse caso, se não for permitido o uso da calculadora para encontrar o valor da raiz, pode-se considerar a própria raiz como sendo o resultado para a equação.

Fórmula de Bhaskara – Como fazer nos exercícios

A técnica utilizada acima, somente pode ser aplicada quando a equação é incompleta, mas, como fazer quando temos uma equação completa, no formato ax² + bx + c = 0 ?

A Fórmula de Bhaskara é assim chamado, pois acredita-se que foi elaborada pelo matemático indiano Bhaskara Akaria. No entanto, essa fórmula é conhecida com esse nome somente no Brasil, pois sabe-se que essa fórmula foi resultado dos estudos de vários matemáticos, e portanto, não tem um único autor.

A fórmula diz que o valor de x pode ser descoberto, a partir da operação somente com seus coeficientes. A fórmula é a seguinte:

Fórmula de Bhaskara - Equação Segundo Grau

Se pegarmos apenas os coeficientes de qualquer equação de 2o grau, podemos encontrar o valor de x. Vamos utilizar um exemplo:

Considere a seguinte equação de 2o grau
x² – 5x + 6 = 0

Para os valores dos coeficientes:

a = 1
b = -5
c = 6

Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara:

Fórmula Bhaskara - Exercício 1

Obs: por questões técnicas, utilizaremos o ^ como sinal para a potenciação.

Resolvendo:
Fórmula Bhaskara - Exercício 2

A raiz quadrada de 1 é igual a 1, mas ele pode ser positivo ou negativo, portanto, vamos calcular as duas possibilidades para o valor de x

A primeira possibilidade:

x = (5 + 1)/2
x = 6/2
x = 3

A segunda possibilidade:

x = (5 - 1)/2
x = 4/2
x = 2

Portanto, as duas possíveis soluções para x são x = 3 ou x = 2.

Como comprovar a resposta da equação de 2° grau?

Chegou a um valor pela fórmula de Bhaskara, mas não confiou no seu cálculo?

Para comprovar se seu cálculo está correto, basta substituir o valor encontrado para x na equação, e ver se ele segue o princípio da igualdade, como no exemplo abaixo:

Para x = 2

22 - 5.2 + 6 = 0
4 - 10 + 6 = 0
-6 + 6 = 0
0 = 0
Para x = 3
32 - 5.3 + 6 = 0
9 - 15 + 6 = 0
-6 + 6 = 0
0 = 0

A utilização das equações de segundo grau são muito questionadas pelos alunos, no entanto, elas são de grande utilidade no cotidiano. As equações são aplicadas em praticamente toda a nossa volta, como nas torres de transmissão de energia elétrica, na trajetória de projéteis lançados, na construção de pontes pênsil e pontes estaiadas.

Contudo, não é só a matemática que utiliza equações de segundo grau. Na física, elas são aplicadas no cálculo de movimento e até na Lei da Queda de Corpos, elaborada inicialmente por Galileu Galilei, e aprimorada por Isaac Newton.