Teorema de Pitágoras: Problemas e exercícios resolvidos

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Teorema de Pitágoras: Problemas e Exercícios

O Teorema de Pitágoras foi provado pelo filósofo e matemático grego Pitágoras, que viveu entre 570 a.C. e 497 a.C. Apesar de ter sido o primeiro a comprovar a teoria, é possível que as relações entre os lados de um triângulo retângulo teriam sido descobertas pelos babilônicos, muito antes de Pitágoras provar seu teorema.

Sendo o autor ou não, Pitágoras conseguiu elaborar uma fórmula geral, que vale para qualquer triângulo retângulo. Antes de falarmos da fórmula, vamos analisar cada elemento de um triângulo retângulo.

O triângulo retângulo

Triângulo Retângulo - Teorema de Pitágoras

O triângulo retângulo de segmento ΔABC é formado por:
Dois catetos (b e c), que são os lados menores e que formam o ângulo reto de 90o;
Uma hipotenusa (a), que é o maior lado, e está oposta ao ângulo reto;
Dois ângulos agudos, que somados ao ângulo reto, totalizam 180o, como qualquer outro triângulo.

Fórmula do Teorema de Pitágoras

Pitágoras sabia que existiam relações entre o comprimento de cada lado de um triângulo retângulo. Após realizar estudos, ele conseguiu comprovar seu teorema, que diz o seguinte:

A soma dos quadrados do comprimento dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa, para qualquer triângulo retângulo.

Se pegarmos o triângulo acima, podemos escrever o teorema em linguagem matemática. Veja:

Sabemos que os catetos são b e c, logo, seus quadrados serão b2 e c2.
A hipotenusa está representada por a, logo, seu quadrado será a2
Se a soma de b2 e c2 é igual a a2, então:

b2 + c2 = a2

Essa é a fórmula do Teorema de Pitágoras!

Mas como ele chegou a esse resultado?

Pitágoras observou que, se desenhasse um quadrado com lado de cada cateto do triângulo retângulo, e somasse as suas áreas, o resultado seria igual á área de um quadrado desenhado com lado da hipotenusa.

 

Cateto e hipotenusa- Teorema de Pitágoras

Na imagem acima, podemos verificar um triângulo retângulo no centro, e o desenho dos quadrados ao lado dos catetos e da hipotenusa. Vamos calcular a área de cada quadrado:

Quadrado menor – Se um lado mede 3, todos os lados tem o mesmo tamanho, portanto, sua área será a multiplicação da sua altura pela largura, ou seja, 3 x 3 = 9. A área do quadrado menor é 9

Quadrado médio – Se um lado mede 4, então sua área será 4 x 4 = 16

A soma desses dois quadrados será igual ao tamanho do quadrado maior: 9 + 16 = 25.

Se calcularmos a área do quadrado maior a partir do tamanho do lado, teremos 5 x 5 = 25

Pronto, está aí a relação entre os lados do triângulo. Se aplicarmos a fórmula elaborada por Pitágoras, ficaremos com o mesmo resultado:

b2 + c2 = a2
42 + 32 = 52
16 + 9 = 25
25 = 25

Essa fórmula é muito útil caso um dos lados do triângulo tenha seu tamanho desconhecido.

Exercício resolvido Teorema de Pitágoras – ENEM

Exercício ENEM resolvido Teorema de Pitágoras

Essa pergunta envolve noções de plano cartesiano e teorema de Pitágoras. Vamos analisar cuidadosamente cada parte do enunciado:

A trajetória do balanço é representado pelo plano cartesiano de eixos x e y. A origem, ou seja, o eixo 0, está localizada no topo do suporte da balança.

Se colocarmos um plano cartesiano sobre o desenho, com o eixo 0 no topo, teremos a seguinte imagem:

Exercício ENEM2014 resolvido

E se não tivesse nenhuma criança, e a corda, sempre esticada, seguisse o trajeto completo? Veja como seria a trajetória:

Exercício resolvido ENEM 2014 - Teorema de Pitágoras

Observe que a trajetória da corda forma um círculo, dessa forma, podemos pegar qualquer ponto x,y dessa circunferência e determinar a parte do gráfico na função. Vamos exemplificar:

Exercício ENEM resolvido 2014

Aqui, temos somente o plano cartesiano, a trajetória da corda, e um ponto x,y dessa trajetória. A área tracejada dos pontos tem uma forma familiar, você consegue identificar? Isso mesmo, quando dividida, a área forma dois triângulos retângulos, é aqui que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

Obs: Qualquer ponto x,y retirado da trajetória da circunferência irá formar um par de triangulos retângulos congruentes.

Vamos relembrar? A fórmula do teorema é a seguinte: A² + B² = C² (a soma dos quadrados dos catetos é igual à hipotenusa)

Já podemos substituir os termos pelas informações da questão. O primeiro valor é a medida da corda, 2 metros, que é a hipotenusa. Não temos os valores dos catetos, mas essa não é a intenção dessa questão.

O enunciado pede somente a parte do gráfico que corresponde à trajetória da corda, portanto, manteremos x e y para os catetos e o 2 para a hipotenusa, e ficaremos com o seguinte:

x² + y² = 2²

Para determinar a função, temos f(x) = y, portanto, vamos calcular a potência e isolar o y (lembre-se que o x² passará a ser um valor negativo):

y² = 4 – x²

Estamos chegando lá! Vamos novamente isolar o y. Costumamos dizer que tudo o que se faz de um lado da igualdade, também deve ser feito do outro, nesse caso, vamos aplicar a raiz quadrada, de forma que a potência do y seja eliminada:

y = √ 4 – x²

Será que já é possível responder? Vejamos as opções:

Resposta exercício resolvido ENEM - Teorema de Pitágoras

Bom, temos uma opção que se encaixa. Se f(x) = y, então f(x) = √ 4 – x², certo?

Seria, se não houvesse um pequeno detalhe. Lembra-se no enunciado da questão, dizendo que a criança nunca iria se balançar a ponto de ficar na posição horizontal? E lembra-se que o ponto 0 é o topo da balança?

Podemos concluir, então, que a criança sempre vai se balançar em uma posição negativa, sempre abaixo do ponto 0 no plano cartesiano, portanto, f(x) = – √ 4 – x².
Afinal, a opção correta é a D.

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