Seno, cosseno e tangente – Como calcular e exercícios

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Seno Cosseno e Tangente - Como calcular e exercícios

Para entender como calcular seno, cosseno e tangente vamos entender as definições de cada um.

O objetivo da trigonometria é o cálculo das medidas de cada elemento de um triângulo retângulo (lados e ângulos) e suas propriedades. Para calcular essas medidas, é necessário saber alguns conteúdos, que são essenciais para estudar as razões trigonométricas. Vamos explicar um pouco desses conteúdos:

Ângulo: é a figura formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto. A unidade de medida dos ângulos é o comprimento do círculo, que corresponde a 360 graus, ou 360°Os ângulos são classificados conforme a sua medida em graus, e podem ser:

Rasos, quando sua medida é igual a 180°;

Como calcular seno, cosseno e tangente - Ângulo de 180

Retos, quando a medida é igual a 90°;

Como calcular seno, cosseno e tangente - Ângulo de 90

Agudos, se a medida for menor que 90°;

Como calcular seno, cosseno e tangente - Ângulo agudo

Ou obtusos, se sua medida for maior que 90°, e menor que 180°.

Como calcular seno, cosseno e tangente - Ângulo obtuso

O triângulo retângulo: é a figura geométrica que têm três ângulos, sendo um deles um ângulo reto, ou seja, possui 90°. Os dois lados que formam esse ângulo reto são chamados de catetos, e o lado que fica à frente desse ângulo é a hipotenusa. Os outros dois ângulos serão agudos, e soma deles será sempre 90°.

O que é seno, cosseno e tangente?

As relações que existem entre os lados do triângulo retângulo e os seus ângulos são chamadas de funções trigonométricas, entre elas estão o seno, cosseno e a tangente.

Veja a figura abaixo. Nela, temos a hipotenusa representada por a, um dos catetos representados por b e o outro cateto representado por c. Temos ainda o ângulo reto, e os dois ângulos agudos, representados por α e β.

Seno, cosseno e tangente - Triângulo retângulo

O seno de um ângulo agudo é dado pela divisão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa;

Sen α = b/a

Sen β = c/a

O cosseno de um ângulo agudo é o resultado da divisão entre o cateto próximo a ele (adjacente) e a hipotenusa.

Cos α = c/a

Cos β = b/a

Obs: O seno e o cosseno serão sempre valores entre 0 e 1, pois a medida dos catetos sempre será menor que a medida da hipotenusa.

A tangente de um ângulo agudo é a divisão entre os catetos. O resultado é sempre um númeral real positivo.

Tg α = b/c

Tg β = c/b

Outras propriedades:

  • O seno do ângulo α é igual ao cosseno do ângulo β
  • O cosseno do ângulo α é igual ao seno do ângulo β
  • A tangente do ângulo α é igual à divisão de 1 pela tangente de β
  • A tangente de α é igual à divisão do seno pelo cosseno do mesmo ângulo

tg α = sen α / cos α

  • A tangente de β também é igual à divisão do seno pelo cosseno do seu ângulo

tg β = sen β / cos β

Existem alguns ângulos, que por aparecerem frequentemente nos cálculos, são chamados de ângulos notáveis. Esses ângulos possuem o valor do seno, cosseno e tangente já calculados, conforme a tabela abaixo:

Ângulo Seno Cosseno Tangente
30 1/2 ou 0,5 √3/2 ou 0,86602 √3/3 ou 0,57735
45 √2/2 ou 0,70710 √2/2 ou 0,70710 1
60 √3/2 ou 0,86602 1/2 ou 0,5 √3 ou 1,73205

Você também pode encontrar tabelas com os valores para todos os ângulos.

Como calcular seno, cosseno e tangente

Veja como calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo de um triângulo retângulo cujas medidas dos lados são, por exemplo, 5, 4 e 3cm:

Exercício seno, cosseno e tangente

Sabemos que sen α= b/a

b = 3

c = 4

a = 5

Aplicando esses valores na fórmula, o valor de Sen α será:

sen α= 3/5

sen α= 0,6

E se tivermos apenas o valor de sen α, como calcular o cosseno e a tangente?

Para isso, utilizamos a seguinte fórmula:

sen α² + cos α² = 1

Substituindo sen α pelo valor encontrado, que é 0,6, teremos a seguinte expressão:

0,6² + cos α² = 1

0,36 + cos α² = 1

O valor de 0,36 passa a ser negativo no outro lado da igualdade

cos α² =  1 – 0,36

cos α² = 0,64

Para chegar ao valor final, o expoente passa para o outro lado da igualdade como raiz

cos = √0,64

cos = 0,8

Pronto! Chegamos ao valor do cosseno, que é 0,8. Para chegar ao valor da tangente, basta usar uma das propriedades (A tangente de α é igual à divisão do seno pelo cosseno do mesmo ângulo):

tg α = sen α/cos α

tg α = 0,60/ 0,8

tg α = 0,75

Portanto, para um triângulo retângulo, cujos lados medem 3, 4 e 5 cm, o ângulo possui os valores de 0,6 para o seno, 0,8 para o cosseno e 0,75 para a tangente.
Agora, que tal treinar suas habilidades matemáticas e calcular o valor de seno, cosseno e tangente para o ângulo β desse triângulo?

Exercício Resolvido – Enem 2011

Exercício resolvido de seno, cosseno e tangente

Como primeiro dado, temos que o ângulo é 30o. Com isso, já podemos calcular o ângulo 2, que será 60o (2 x 30 = 60). Você já sabe que uma das propriedades de um triângulo é que a soma de seus ângulos internos será sempre 180 graus. Mas temos aqui apenas um ângulo interno e um ângulo externo, como saber os outros ângulos?

Veja, o ângulo externo 2 mede 60 graus. Para saber o ângulo interno, basta subtrair 60 de 180, que é a medida de um ângulo reto. Logo, 180 – 60 = 120. Está aí, um dos ângulos internos faltantes é 120 graus.

Agora, basta somar esse ângulo com o outro já conhecido, para determinar o valor do ultimo ângulo restante. Já que a soma dos ângulos é sempre 180, então 120 + 30 – 180 = 30. Agora temos todos os ângulos do triângulo, você consegue adivinhar que tipo de triângulo ele forma?

Um triângulo que possui dois ângulos internos com o mesmo valor só pode ser isóceles, logo, os dois lados que formam o ângulo maior possuem a mesma medida. O triângulo ficará com as seguintes medidas:

Resposta de exercício de seno, cosseno e tangente

Calculando a menor distância

O barco seguirá na mesma trajetória, em linha reta, até que atinja a menor distância entre a praia e sua localização. Qual será a menor distância?

É simples, a menor distância entre um ponto e uma reta paralela a esse ponto é sempre uma reta perpendicular! Abaixo, a linha vermelha representa essa reta.

Explicação de como calcuar seno, cosseno e tangente

Pronto, se retirarmos o primeiro triângulo, ficaremos com um triângulo retângulo. Já sabemos que um de seus ângulos agudos é 60° (2). Agora, somamos o ângulo agudo de 60° com o ângulo reto de 90° e subtraímos 180. Chegaremos ao valor do outro ângulo agudo, de 30°. Sabemos também que a hipotenusa mede 2000m. Vamos chamar a linha vermelha de d, é esse valor que queremos descobrir.

Explicação de como calcuar seno, cosseno e tangente agudo

Para saber a distância d, podemos utilizar o cosseno de 30°, que é a divisão do cateto adjacente desse ângulo pela hipotenusa. 

cos 30°: √3/2 (Veja na tabela de ângulos notáveis)

cateto adjacente: d

hipotenusa: 2000m

Na fórmula:

√3/2 = d/2000

Aplicando a multiplicação distributiva, teremos:

2d = 2000√3

Agora, o 2 passa ao outro lado da igualdade dividindo:

d = 2000√/ 2

d = 1000√3

E a resposta correta é a opção B, a menor distância será 1000√3

Caso tenha ficado alguma dúvida, basta usar o formulário de comentários.

Clique aqui para baixar alguns exercícios de seno e cosseno.

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