O que é Logaritmo? Com exercício resolvido do enem

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Logaritmo - Exercícios resolvidos e exemplos
Logaritmo é útil nos mais diversos problemas matemáticos. Para entender o que é logaritmo, e como resolver uma operação que envolva logaritmo é muito importante saber potenciação. Se você não sabe potenciação dê uma olhada no nosso artigo: Potenciação – Regras, Propriedades e Exercícios

O que é logaritmo?

Logaritmo

A palavra vem do latim logos (razão) e arithemos (números). A palavra logaritmo foi utilizada pela primeira vez por John Napier, no século XVI. Ele estudava uma forma de simplificar os cálculos enormes, com vários números, e que demandavam cada vez mais tempo, principalmente aqueles utilizados na astronomia e na navegação.

A intenção era criar uma ferramenta que substituísse os cálculos de multiplicação e divisão, pelos mais simples, de soma e subtração. Com isso, nasceu a primeira ideia do que seria o logaritmo.

Os cálculos de Napier foram estudados por diversos matemáticos, que descobriram uma relação na progressão entre termos de aumento variado e termos de aumento constante. Veja a sequência:

Progressão Geométrica 2 4 8 16 32 64 N x 2
Progressão Aritmética 1 2 3 4 5 6 n +1

 

Na primeira linha, os números sofrem uma progressão geométrica, pois a diferença entre um termo anterior e o próximo não é a mesma. Já na linha abaixo, o aumento é constante, pois a diferença entre os termos é sempre 1.

Compreender progressão aritmética e geométrica, bem como potenciação, é essencial para compreender os logaritmos.

Essa tabela, baseada nos estudos de Napier, indica que os termos da progressão aritmética são os respectivos logaritmos da progressão geométrica. Na progressão geométrica, o próximo termo é multiplicação do termo anterior por um número constante. Veja: 2×2 = 4; 4×2 = 8; 8×2 = 16. Esse número constante é chamado de base do logaritmo:

Progressão Geométrica 21 22 23 24 25 26 2n
Progressão Aritmética 1 2 3 4 5 6 n

 

Escrevendo na forma de logaritmo, teremos, por exemplo, Log2 32 = 5, o logaritmo de 32, na base 2 é igual a 5, porque 25 = 32. Os valores que são o resultado da potência, nesse caso, o 32, é chamado de logaritimando, e o valor do expoente é o logaritmo, que aqui, é o valor 5.

Se para definir potência, dizemos que x a = y, então o logaritmo dela é Log y x = a, sendo y sempre maior que 1 e x sempre maior que 0.

xa = y     <>     Log y x = a

Potência            Logaritmo

Mas, com esses cálculos simples, porque Napier ainda queria facilitar? Tente fazer uma tabela de progressão aritmética com outros números, por exemplo, de 3 em 3. Veja como fica a tabela:

Progressão Geométrica 27 729 19.683 3n
Progressão Aritmética 3 6 9 n

 

Não é mais fácil escrever os números em forma de potência? 33, 36, 39 … Isso acontece da mesma forma com os logaritmos, para fazer o cálculo inverso.

Mas, havia um problema com essa forma de calcular o logaritmo. Não era possível explicar o logaritmo de 1, em qualquer base que fosse aplicado. Com isso, Henry Briggs auxiliou Napier, e acordaram que o logaritmo de 1 seria 0, e o logaritmo de 10 seria 1, com isso, nasceu o conceito dos logaritmos como conhecemos hoje, o Logaritmo de base 10. Dessa forma, poderia encontrar o logaritmo de todos os números.

Como calcular o Logaritmo de Base 10?

 

Para calcular o logaritmo de qualquer número, é necessário recordar a fórmula, mas a base será sempre 10. Não será necessário indicar a base na fórmula, ou seja, log10 2 = x , será descrito simplesmente como log 2. Veja como calcular:

Log 2 <> 10 n = 2

Precisamos encontrar o valor de n. Sabendo que:

210 = 1024 (2x 2=4x 2=8x 2=16x 2 =32x 2 =64x 2 =128x 2 = 256x 2= 512x 2= 1024), utilizaremos o valor aproximado de 1000.

Consideraremos que 210 é igual a 1000 para podermos utilizar outro número com potência. 1000 é o resultado de 103 (10×10 = 100x 10= 1000). Como estamos calculando expoentes, utilizaremos então a potência 103.

Dividiremos os dois expoentes por 10, para então chegar ao logaritmo de 2.

2 10 / 10 = 10 3 / 10

2 = 10 0,3

Log 2 = 0,3

Pronto! O logaritmo de 2 é 0,3, pois 10 elevado a 0,3 é igual a 2.

Para calcular logaritmos de outros números, com base fracionada ou com raiz quadrada, é necessário aplicas as propriedades operatórias dos logaritmos.

Exercício resolvido do ENEM de logaritmo

Exercício resolvido de logaritmo

Exercicio resolvido enem do logaritmo
Exercício retirado do ENEM 2013

Resolução

Temos, nessa questão, a informação da aproximação para Log2, que é 0,3. Considerando isso, logo 100,3 = 2

A meia-vida do Césio-137 é de 30 anos, portanto, primeiro devemos calcular qual é a sua massa em meia-vida. A é a massa inicial, portanto, calcularemos A para determinar a meia-vida. Na expressão, os valores serão os seguintes:

 t = 30

0,5 A = A . (2,7) k . 30   <>   0,5 = (2,7) k . 30   <0,5> 1/30 = (2,7) k

Nota: Lembrando que 1/2 ou 0,5 são a mesma coisa. Aqui usaremos a forma decimal devido a uma questão técnica do site.

Esse resultado demonstra a massa do Césio-137 em meia vida, agora, vamos calcular a expressão que indica 10%:

 t1 é o tempo para que o Césio-137 chegue a 10% de sua massa

M(t1) = 1/10A

M é a massa, já calculada na expressão anterior, logo, se M é igual a (2,7)t, e (2,7)t é igual a (0,5) 1/30 , então M = (0,5) 1/30. Portanto, vamos substituir o M na expressão por (0,5) 1/30:

 [(0,5)1/30] t1 = 1/10

Aplicamos a distributiva de t1 nos colchetes, e eliminamos a fração em 1/10, a expressão ficará assim:

 2 – 1/30 = 10-1

Aqui, já podemos aplicar Log2, que é igual a 0,3 conforme o enunciado da questão. Também podemos aplicar o Log10-1. Você já viu que o logaritmo de 10 é 1, como ele está elevado a -1, o log10 será -1.

 0,3 – 1/30 = -1

Para eliminar a fração, o valor de 30 passará ao outro lado da igualdade, sendo multiplicado por -1. teremos:

 t1 . 0,3 = – 30 . -1

t1 . 0,3 = 30

t1 = 30 / 0,3

t1 = 100

Chegamos à resposta! O tempo necessário para que a massa de Césio-137 seja reduzida a 10% de sua massa é de 100 anos. Opção E.

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31 COMENTÁRIOS

  1. 2/5 elevado a x=8/125

    1/3 elevado a x=27

    32 elevado a x=16

    8 elevado a x=4

    a)o logaritimo de 256 em certa base é 4.qual é essa base?

    b)o logaritimo de 729 em erta base é 6.qual é essa base?

    log2 256=x

    log5 x=4/3

    log1/3 243=x

    logx 8=2

    logx 5=1/2

  2. olha eu tenho muita dificuladade em logaritimos,ainda mais quando se tem fraçao e raiz juntos.
    pois nao sei usar regras nao memorizo.sou uma catastrofe em matematica rsrsr.
    se puder me mandar uma forma facil de memorizar os jogos de sinais,regras fico agradecida.obrigado.

  3. Cara que jeito prático e facíl de fazer logaritimano,muito bom!

    Espero que tenha mais explicações de outra maneira

    por exemplo log 25=x
    1/25

    Gostei muito do site,Deus continue abençoando!

  4. Eu gostei bastante ,pois vocês exploraram tudo sobre os logaritmo,resumindo tudo numa só pagina.Gostei bastante.

  5. como resolvo a questao:
    construa o Grafico da função:
    y=log 1/2 para x=1/4,1/2,1,2 e4

  6. não gostei, falta muuita informação. Nao achei o que queria. perda de tempo !

  7. Antes não conseguia entender logaritmo de jeito nenhum, mas com essa explicação até um analfabeto entende. Obrigada!

  8. Muito incompleto.. E os de base fracionada ou números decimais? E com raiz, como resolve? Esse básico ai nunca vai cair numa prova.

  9. logaratimo assunto muito complicadoooooooo falta mais exemplosssssssssss

  10. Não está completo mas da pra tirar algumas duvidas, OBG pra quem fez ai (y)

  11. Gostei de mais deste portal, obrigado por vocês existirem, eu entendi o proposto e me ajudou de mais.

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