Como calcular área e perímetro de um triângulo – Matemática

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Aprenda como calcular área e perímetro de um triângulo.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Você já percebeu que o cálculo de áreas e perímetros é um conteúdo muito cobrado no Enem e vestibulares? Quer aprender a calcular a área e o perímetro de um triângulo? Mas antes, você sabe o que é área e o que é perímetro?

Antes de começar a calcular usando fórmulas, é muito importante saber o que estamos calculando. Aqui, vamos ensinar o que é área e perímetro, e como calculamos área e perímetro de um triângulo.

Perímetro

Vamos começar com o perímetro, pois só existe área, se houver um perímetro que a limite. Perímetro, portanto, é o contorno de uma determinada área. Parece simples, e é! No entanto, perímetro não é só o que delimita a área, ele também pode ser uma reta, nesse caso, o perímetro será a medida do comprimento dessa reta.

Nas figuras geométricas, o perímetro é a soma da medida de todos os contornos. Vale lembrar que somente as figuras bidimensionais possuem perímetro, ou seja, somente as figuras planas, que possuem altura e largura. Nas figuras tridimensionais, como um cubo ou um paralelepípedo, por exemplo, o que se calcula é o volume, a área total e a diagonal.

Área

A área é a quantidade de espaço contido na superfície dentro de um perímetro. Vamos ver um exemplo:

Imagine uma casa sendo construída. As paredes vão delimitar o espaço de cada cômodo, elas serão o perímetro. Em um quarto, por exemplo, é preciso de espaço suficiente no chão para caber uma cama e um armário. Para haver esse espaço, serão necessárias, no mínimo, quatro paredes, que serão construídas com uma certa distância entre elas. Esse espaço que fica dentro das quatro paredes (perímetro), é chamado de área.

A unidade de medida mais comum utilizada para área é o metro quadrado, mas as áreas podem ser medidas em quilômetro quadrado, acre, alqueire, are, hectare ou centiare, para áreas muito extensas.

Como calcular perímetro de um triângulo

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Calcular o perímetro de um triângulo é muito fácil! Basta somar a medida do comprimento de cada lado, e então você terá o perímetro. A única figura geométrica que precisa de uma fórmula para o perímetro é o círculo, que é a multiplicação do diâmetro (medida da linha traçada no centro do circulo) pelo número constante (pi = 3,16 aproximadamente).

No exemplo abaixo, a medida do perímetro será:

P = a + b + c

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Como calcular a área de um triângulo

Você já leu que a área é calculada em metros quadrados (ou centímetros), certo? O que isso quer dizer?

Bom, isso significa que o tamanho será calculado com quadrados. Lembra do exemplo da casa? Imagine que, para calcular a área do quarto, fossem dispostos vários quadrados, com 1 metro de cada lado. Então, os quadrados seriam colocados lado a lado dentro do espaço. Podemos imaginar que, no chão do quarto, usamos o total de nove quadrados de 1 metro para preencher todo o espaço. Pronto, essa é a medida da área do quarto, 9 metros quadrados.

Essa técnica seria muito fácil, se não fosse necessário calcular áreas de outras formas geométricas, como um círculo, um hexágono ou, no nosso caso, um triângulo. Se o quarto tivesse um formato triangular, nossos quadrados não caberiam nas pontas, e portanto, não seria possível definir a área.

Dessa forma, para calcular a área de um triângulo, precisamos de fórmulas. Além disso, sabemos que existem mais de um tipo de triângulo, o que vai demandar diferentes técnicas para calcular suas áreas. A fórmula geral para calcular a área de um triângulo é

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Sendo:

A = área

h = altura

b = base

Obs: A altura de um triângulo é a medida da linha entre a sua base e o ponto mais alto do triângulo.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Calcular área de triângulo retângulo

Esse é o tipo de triângulo mais fácil para calcular a área. Basta saber a medida de dois dos seus lados, e então aplicar os valores de altura e base na fórmula.

Tendo dois lados de um triângulo retângulo conhecidos, mesmo que nenhum deles seja o cateto que corresponde à sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras, e assim, determinar as medidas de todos os lados, conforme o exemplo abaixo:

Considere um triângulo retângulo com cateto medido 4, hipotenusa medindo 5, e o outro cateto medindo b.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Nesse triângulo retângulo, não temos o valor de sua altura, já que sua medida é o valor de b. Para calcular b, basta aplicar o teorema de pitágoras.

 + b² = c²

 + b² = 5²

16 + b² = 25

 = 25 – 16

 = 9

b = √9

b = 3

Pronto! A altura do triângulo é 3, agora podemos aplicar os valores na fórmula, para calcular a área, assim:

altura = 3

base = 4

A = 3.4/2

A = 12/2

A = 6

Calcular área de triângulo equilátero

O cálculo da área de um triângulo equilátero é bem parecido com o triângulo retângulo, com uma diferença, vamos dividi-lo ao meio para achar a área do triângulo inteiro. Porquê? Veja abaixo:Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Se dividimos o triângulo equilátero ao meio, teremos dois triângulos retângulos. Dessa forma, vai ficar mais fácil definir a sua altura, usando o teorema de pitágoras. Se a base desse triângulo possui 4 cm, então a metade dela tem 2 cm. Como é um triângulo equilátero, os outros lados também terão 4 cm, esse será o valor da hipotenusa. Agora, basta calcular o valor do outro cateto, que será a altura:

 + b² = c²

 + b² = 44

4 + b² = 16

 = 16 – 4

 = 12

b = √12

b = 3,4641

O valor de b é a altura do triângulo que vamos calcular. Agora, podemos utilizar a fórmula da área

altura = 3,4641

base = 4

A = 3,3641.4 /2

A = 13,8564 /2

A = 6,9282

Uma expressão que também pode ser utilizada para calcular a área de um triângulo equilátero é a seguinte:

A = l²/4 . √3

Sendo l, o lado do triângulo (que é o mesmo valor para qualquer lado)

Quer fazer um teste? Substitua o l nessa fórmula pelo lado do triângulo que calculamos (lado = 4), e veja se o resultado bate com o resultado da fórmula anterior.

Triângulo isóceles

Por ter dois lados com a mesma medida, pode ser calculado da mesma forma do triângulo anterior, ou seja, dividindo ao meio para obter dois triângulos retângulos e calculando a sua altura á partir do teorema de Pitágoras. Depois, basta aplicar a fórmula.

Triângulo escaleno

Esse triângulo possui medidas diferentes em todos os seus lados, e possui ângulos diferentes. Existem três formas de calcular a área de um triângulo escaleno, dependendo dos dados que forem fornecidos sobre ele.

  • Quando os três lados são conhecidos

Quando os três lados de um triângulo são conhecidos, podemos usar a Fórmula de Heron para descobrir a sua área. Essa fórmula também pode ser utilizada com os outros triângulos, mas é especialmente útil quando o triângulo possui lados diferentes, e não sabemos a sua altura.

Na fórmula de Heron, utilizamos o semiperímetro, ou seja, é a metade do perímetro do triângulo, que já sabemos que é a soma de todos os lados. Na fórmula, teremos:

p = (a +  b + c) /2

Determinada a medida do semiperímetro, basta aplicar os valores na fórmula abaixo, para descobrir a área:

A = √p.(p-a).(p-b).(p-c)

Vamos descobrir a área do triângulo escaleno, utilizando essa fórmula.Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

a = 8

b = 10

c = 12

p =(8 + 10 + 12) /2

p = 30 / 2

p = 15

A = √15.(15-8).(15-10).(15-12)

A = √15.7.5.3

A = √1575

A = 39,68

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser utilizada caso todos os lados do triângulo sejam conhecidos.

  • Quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos

Quando temos conhecidas as medidas dos dois lados de um triângulo escaleno, e a medida do ângulo entre esses dois lados, e possível determinar a área utilizando a fórmula

A = a . b . (senα) / 2

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Considere o triângulo escaleno:

a = 8

b = 10

ângulo α  = 82,8

Aplicando os valores na fórmula:

A = 8 . 10 . (sen α) / 2

O seno de ângulo α é igual a 0,992, logo,

A = 80 . 0,992 / 2

A = 80 . 0,496

A = 39,68

  • Quando um dos lados e a altura são conhecidos

Quando a altura do triângulo e um de seus lados é conhecido, conseguimos calcular utilizando a fórmula geral. Nas questões em que se pede o cálculo da área de um triângulo escaleno, geralmente são fornecidos os dados para realizar uma dessas formas de cálculo.
Vamos calcular novamente a área do triângulo acima, mas desta vez, utilizaremos apenas a base e a altura.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Na fórmula geral:

A = (6,613 . 12) /2

A = (79,356) /2

A = 39,68

Viu? A medida da área sempre vai ser a aproximadamente a mesma, sejam quais dados o enunciado da questão apresentar.

Usando essas fórmulas, você vai conseguir calcular a área de qualquer triângulo!

Exercício resolvido do ENEM 2012

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

O enunciado da questão apresenta o desenho do vitral. Nele, podemos perceber que a parte branca, cujo material custa mais caro, é formado por quatro triângulos congruentes. Para calcular a área branca, podemos calcular a área de um triângulo individualmente, e multiplicar por 4, já que são 4 triângulos.

O valor da base dos triângulos já está na questão, ou seja, os seguimentos AP e QC, tem que 1/4 da medida do lado do quadrado, que é de 1m. Portanto, a base de um dos triângulos é 1/4 de 1 metro: 1/4 . 1 = 0,25

Podemos afirmar que os dois triângulos unidos pelas bases têm a altura de um lado inteiro do quadrado, ou seja, 1m. Mas queremos a altura de apenas um dos triângulos, ou seja, 1/2 = 0,5. Temos aqui os dados de base a altura de um dos triângulos, agora, basta aplicar a fórmula geral para calcular sua área.

A = (h.b)/2

A = (0,5 . 0,25)/2

A = 0,125 / 2

A = 0,0625

Agora que temos o valor da área de um triângulo, basta multiplicar por quatro para obter a área de toda a parte branca do vitral, que corresponde aos triângulos:

0,0625 . 4 = 0,25 m²

O cálculo da área branca está concluído. Para calcular a área escura, basta subtrair o valor da área branca da área total do vitral. Se o vitral possui 1 metro de lado, então ele possui 1m², logo:

1 – 0,25 = 0,75m²

Agora, para calcular os valores, precisamos pegar o custo do vitral branco e do vitral escuro e multiplicar pelas suas áreas. Vamos chamar o vitral branco de Vb e o vitral escuro de Ve.

Vb = 0,25 . 50,00

Vb = 12,50

Ve = 0,75 . 30

Ve = 22,50

Vb + Ve = 35,00

O custo total do vitral é de R$35,00, a opção correta é a letra B

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