Como calcular área e perímetro de um triângulo – Matemática

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Aprenda como calcular área e perímetro de um triângulo.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Você já percebeu que o cálculo de áreas e perímetros é um conteúdo muito cobrado no Enem e vestibulares? Quer aprender a calcular a área e o perímetro de um triângulo? Mas antes, você sabe o que é área e o que é perímetro?

Antes de começar a calcular usando fórmulas, é muito importante saber o que estamos calculando. Aqui, vamos ensinar o que é área e perímetro, e como calculamos área e perímetro de um triângulo.

Perímetro

Vamos começar com o perímetro, pois só existe área, se houver um perímetro que a limite. Perímetro, portanto, é o contorno de uma determinada área. Parece simples, e é! No entanto, perímetro não é só o que delimita a área, ele também pode ser uma reta, nesse caso, o perímetro será a medida do comprimento dessa reta.

Nas figuras geométricas, o perímetro é a soma da medida de todos os contornos. Vale lembrar que somente as figuras bidimensionais possuem perímetro, ou seja, somente as figuras planas, que possuem altura e largura. Nas figuras tridimensionais, como um cubo ou um paralelepípedo, por exemplo, o que se calcula é o volume, a área total e a diagonal.

Área

A área é a quantidade de espaço contido na superfície dentro de um perímetro. Vamos ver um exemplo:

Imagine uma casa sendo construída. As paredes vão delimitar o espaço de cada cômodo, elas serão o perímetro. Em um quarto, por exemplo, é preciso de espaço suficiente no chão para caber uma cama e um armário. Para haver esse espaço, serão necessárias, no mínimo, quatro paredes, que serão construídas com uma certa distância entre elas. Esse espaço que fica dentro das quatro paredes (perímetro), é chamado de área.

A unidade de medida mais comum utilizada para área é o metro quadrado, mas as áreas podem ser medidas em quilômetro quadrado, acre, alqueire, are, hectare ou centiare, para áreas muito extensas.

Como calcular perímetro de um triângulo

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Calcular o perímetro de um triângulo é muito fácil! Basta somar a medida do comprimento de cada lado, e então você terá o perímetro. A única figura geométrica que precisa de uma fórmula para o perímetro é o círculo, que é a multiplicação do diâmetro (medida da linha traçada no centro do circulo) pelo número constante (pi = 3,16 aproximadamente).

No exemplo abaixo, a medida do perímetro será:

P = a + b + c

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Como calcular a área de um triângulo

Você já leu que a área é calculada em metros quadrados (ou centímetros), certo? O que isso quer dizer?

Bom, isso significa que o tamanho será calculado com quadrados. Lembra do exemplo da casa? Imagine que, para calcular a área do quarto, fossem dispostos vários quadrados, com 1 metro de cada lado. Então, os quadrados seriam colocados lado a lado dentro do espaço. Podemos imaginar que, no chão do quarto, usamos o total de nove quadrados de 1 metro para preencher todo o espaço. Pronto, essa é a medida da área do quarto, 9 metros quadrados.

Essa técnica seria muito fácil, se não fosse necessário calcular áreas de outras formas geométricas, como um círculo, um hexágono ou, no nosso caso, um triângulo. Se o quarto tivesse um formato triangular, nossos quadrados não caberiam nas pontas, e portanto, não seria possível definir a área.

Dessa forma, para calcular a área de um triângulo, precisamos de fórmulas. Além disso, sabemos que existem mais de um tipo de triângulo, o que vai demandar diferentes técnicas para calcular suas áreas. A fórmula geral para calcular a área de um triângulo é

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Sendo:

A = área

h = altura

b = base

Obs: A altura de um triângulo é a medida da linha entre a sua base e o ponto mais alto do triângulo.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Calcular área de triângulo retângulo

Esse é o tipo de triângulo mais fácil para calcular a área. Basta saber a medida de dois dos seus lados, e então aplicar os valores de altura e base na fórmula.

Tendo dois lados de um triângulo retângulo conhecidos, mesmo que nenhum deles seja o cateto que corresponde à sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras, e assim, determinar as medidas de todos os lados, conforme o exemplo abaixo:

Considere um triângulo retângulo com cateto medido 4, hipotenusa medindo 5, e o outro cateto medindo b.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Nesse triângulo retângulo, não temos o valor de sua altura, já que sua medida é o valor de b. Para calcular b, basta aplicar o teorema de pitágoras.

 + b² = c²

 + b² = 5²

16 + b² = 25

 = 25 – 16

 = 9

b = √9

b = 3

Pronto! A altura do triângulo é 3, agora podemos aplicar os valores na fórmula, para calcular a área, assim:

altura = 3

base = 4

A = 3.4/2

A = 12/2

A = 6

Calcular área de triângulo equilátero

O cálculo da área de um triângulo equilátero é bem parecido com o triângulo retângulo, com uma diferença, vamos dividi-lo ao meio para achar a área do triângulo inteiro. Porquê? Veja abaixo:Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Se dividimos o triângulo equilátero ao meio, teremos dois triângulos retângulos. Dessa forma, vai ficar mais fácil definir a sua altura, usando o teorema de pitágoras. Se a base desse triângulo possui 4 cm, então a metade dela tem 2 cm. Como é um triângulo equilátero, os outros lados também terão 4 cm, esse será o valor da hipotenusa. Agora, basta calcular o valor do outro cateto, que será a altura:

 + b² = c²

 + b² = 44

4 + b² = 16

 = 16 – 4

 = 12

b = √12

b = 3,4641

O valor de b é a altura do triângulo que vamos calcular. Agora, podemos utilizar a fórmula da área

altura = 3,4641

base = 4

A = 3,3641.4 /2

A = 13,8564 /2

A = 6,9282

Uma expressão que também pode ser utilizada para calcular a área de um triângulo equilátero é a seguinte:

A = l²/4 . √3

Sendo l, o lado do triângulo (que é o mesmo valor para qualquer lado)

Quer fazer um teste? Substitua o l nessa fórmula pelo lado do triângulo que calculamos (lado = 4), e veja se o resultado bate com o resultado da fórmula anterior.

Triângulo isóceles

Por ter dois lados com a mesma medida, pode ser calculado da mesma forma do triângulo anterior, ou seja, dividindo ao meio para obter dois triângulos retângulos e calculando a sua altura á partir do teorema de Pitágoras. Depois, basta aplicar a fórmula.

Triângulo escaleno

Esse triângulo possui medidas diferentes em todos os seus lados, e possui ângulos diferentes. Existem três formas de calcular a área de um triângulo escaleno, dependendo dos dados que forem fornecidos sobre ele.

  • Quando os três lados são conhecidos

Quando os três lados de um triângulo são conhecidos, podemos usar a Fórmula de Heron para descobrir a sua área. Essa fórmula também pode ser utilizada com os outros triângulos, mas é especialmente útil quando o triângulo possui lados diferentes, e não sabemos a sua altura.

Na fórmula de Heron, utilizamos o semiperímetro, ou seja, é a metade do perímetro do triângulo, que já sabemos que é a soma de todos os lados. Na fórmula, teremos:

p = (a +  b + c) /2

Determinada a medida do semiperímetro, basta aplicar os valores na fórmula abaixo, para descobrir a área:

A = √p.(p-a).(p-b).(p-c)

Vamos descobrir a área do triângulo escaleno, utilizando essa fórmula.Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

a = 8

b = 10

c = 12

p =(8 + 10 + 12) /2

p = 30 / 2

p = 15

A = √15.(15-8).(15-10).(15-12)

A = √15.7.5.3

A = √1575

A = 39,68

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser utilizada caso todos os lados do triângulo sejam conhecidos.

  • Quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos

Quando temos conhecidas as medidas dos dois lados de um triângulo escaleno, e a medida do ângulo entre esses dois lados, e possível determinar a área utilizando a fórmula

A = a . b . (senα) / 2

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Considere o triângulo escaleno:

a = 8

b = 10

ângulo α  = 82,8

Aplicando os valores na fórmula:

A = 8 . 10 . (sen α) / 2

O seno de ângulo α é igual a 0,992, logo,

A = 80 . 0,992 / 2

A = 80 . 0,496

A = 39,68

  • Quando um dos lados e a altura são conhecidos

Quando a altura do triângulo e um de seus lados é conhecido, conseguimos calcular utilizando a fórmula geral. Nas questões em que se pede o cálculo da área de um triângulo escaleno, geralmente são fornecidos os dados para realizar uma dessas formas de cálculo.
Vamos calcular novamente a área do triângulo acima, mas desta vez, utilizaremos apenas a base e a altura.

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

Na fórmula geral:

A = (6,613 . 12) /2

A = (79,356) /2

A = 39,68

Viu? A medida da área sempre vai ser a aproximadamente a mesma, sejam quais dados o enunciado da questão apresentar.

Usando essas fórmulas, você vai conseguir calcular a área de qualquer triângulo!

Exercício resolvido do ENEM 2012

Como calcular área e perímetro de um triângulo - Exercícios

O enunciado da questão apresenta o desenho do vitral. Nele, podemos perceber que a parte branca, cujo material custa mais caro, é formado por quatro triângulos congruentes. Para calcular a área branca, podemos calcular a área de um triângulo individualmente, e multiplicar por 4, já que são 4 triângulos.

O valor da base dos triângulos já está na questão, ou seja, os seguimentos AP e QC, tem que 1/4 da medida do lado do quadrado, que é de 1m. Portanto, a base de um dos triângulos é 1/4 de 1 metro: 1/4 . 1 = 0,25

Podemos afirmar que os dois triângulos unidos pelas bases têm a altura de um lado inteiro do quadrado, ou seja, 1m. Mas queremos a altura de apenas um dos triângulos, ou seja, 1/2 = 0,5. Temos aqui os dados de base a altura de um dos triângulos, agora, basta aplicar a fórmula geral para calcular sua área.

A = (h.b)/2

A = (0,5 . 0,25)/2

A = 0,125 / 2

A = 0,0625

Agora que temos o valor da área de um triângulo, basta multiplicar por quatro para obter a área de toda a parte branca do vitral, que corresponde aos triângulos:

0,0625 . 4 = 0,25 m²

O cálculo da área branca está concluído. Para calcular a área escura, basta subtrair o valor da área branca da área total do vitral. Se o vitral possui 1 metro de lado, então ele possui 1m², logo:

1 – 0,25 = 0,75m²

Agora, para calcular os valores, precisamos pegar o custo do vitral branco e do vitral escuro e multiplicar pelas suas áreas. Vamos chamar o vitral branco de Vb e o vitral escuro de Ve.

Vb = 0,25 . 50,00

Vb = 12,50

Ve = 0,75 . 30

Ve = 22,50

Vb + Ve = 35,00

O custo total do vitral é de R$35,00, a opção correta é a letra B

108 COMENTÁRIOS

  1. oi sou Roberio gostaria de receber todos os seus conteúdos. obrigado

  2. Goataria de receber uns exercícios básicos
    p/ eu fazer um enem, pelo menos BOM!

    Matemática, química e física.
    Obrigada.

  3. poxa vey gostei de sua explicação…
    so queria que vc colokase umas questões de teorema de pitagorás mas complexo vlw(Y)

  4. eu também gostaria de receber esses conteudos sobre perímetro e área de um triângulo. obrigado.

  5. gostaria de receber exercícios de português,matemática,historia e geografia e tambem conteúdos dessas matérias!obrigado!

  6. Oi,gostaria de receber alguns exercicios de matematica pois estou ha muito tempo sem estudar e gostaria de receber alguns como ;Operaçao com numeros naturais e fraionarios; Adiçao,Subtraçao; Multiplicaçao; Divisao;Problemas envolvendo as quatro operaçoes;Noçoes de conjunto;Sistema Metrico Decimal; Sistema Monetario Brasileiro; Numero e Grandezas direta e Inversamente Proporcionais; Regra de tres simples e composta; Porcentagem; Juros;Geometria no plano e no Espaço; Sistema de Medidas Legais; Resoluçao de situaçoes-problema; Polinonimo;Perimetro Equaçoes do 1 e 2 graus ; Estrutura Logica de Argumentaçao;Diagramaçao logica.

  7. EU GOSTARIA DE RECEBER ALGUNS CONTEUDOS DESTA MATERIA . OBRIGADO

  8. Oi tudo bom eu estou com dificuldade nessa materia e porfavor manda para meu e-mail

  9. eu gostei e legal ……
    eu adore os materias muito obrigado …..
    ah e poi a tabuada aqui viu …..
    e area e perimetro poi mais facil

  10. Oie! Gostaria de receber todo o seu conteúdo,principalmente ângulo,seno, cosseno e exercicios. Obrigada.

  11. gostaria de receber formulas matematicas para calculo de area com todos os quatro lados diferentes

  12. Gostaria de saber como calculoar o perimetro de mum triangulo retangulo, tendo somente o valor da area do triangulo a=150

  13. keria mais conteudos sobre esta area ficaria grato se as me enviasse

  14. Como eu fico sabendo a altura?
    E se faz assim:
    base x altura
    x 2?
    ou divido por 2?
    Me ajudem!

  15. Gostaria q me ensina-se bem detalhado, a calcular área e perímetro…Obrigada

  16. gostaria de receber orientação como calcular porcentagem e regra de tres simples pois tenho muinta dificuldade em matematica principalmente em resolver poblemas em concurso.

  17. Gostei muito de sua explicação. Gostaria de receber mais explicações com exercícios comentados de como calcular área e perimetro de um quadrado, triangulo, circulo,geometria no plano e no espaço, equação do 1o. grau e 2o. grau, numeros e grandezas direta e inversamente proporcionais, teorema de pitagoras , PA, deve ser explicação com exercícios detalhados. Ficarei eternamente grato.

  18. Complementando meu pedido, seria de grande valia enviar-me explicações de como somar, diminuir , dividir e multiplicar frações, como encontrar o máximo e minimo multiplo comum, máximo e mínimo divisor comum. É importante exercícios com a explicação de como chegar ao resultado.

  19. gostei muito bela explicação se puder me manda por email o conteudo e exercícios sobre área e perímetro.

  20. oi gostaria que me ensina -se bem detalhada a area do prerimetro.
    obrigada

  21. Goataria de receber uns exercícios básicos
    p/ eu fazer um enem, pelo menos BOM!

    Matemática, química e física.
    Obrigada.

  22. meu lote tem a frente com formato de um pico 50m uma lateral de 13,5m a outra de 22,7m o fundo 42,5 e entre o fundo e o pico na frente tem 25m de largura no meio do lote eu queria saber quantos metros ele tem

  23. gostaria de saber as fórmulas de cálculos de perímetro e suas áreas e um exemplo bem explicativo.

    grato,

    Altamiro

  24. to tentando te dar uma a
    juda, se você quer saber a formula para resolução de áreas de triângulo. a formula é Base X Altura dividido por 2. Um Abraço

  25. gostaria de receber conteudo sobre como calcular perimetro e area

  26. gostaria de receber tudo que tiver sobre seno-cosseno e tangente. Uma forma mais simples para aprender. Obrigado.

  27. Tenho dúvida em uma questao.

    Um triângulo possui seus lados em P.A (progressao aritimética). O perímetro do triângulo é 36cm e a área é 54cm². Calcule a medida dos lados.

  28. qual a fomula para calcular o seno,coseno e tangente de um ãngulo ??

    obs: formula e um exeplo !

  29. Olá gostaria de receber explicações de todo o ensino médio das matérias : fisica , matemática e quimica pois vou prestar vestibular e enem tambem , mesmo com o cursinho estou tendo algumas dificuldades .. Obrigada

  30. Oi meu nome é Jackson e gostaria de saber o que estudar para o vestibular de engenharia de computação. Obrigado!

  31. Oi,gostaria de receber alguns exercicios de matematica pois estou ha muito tempo sem estudar e gostaria de receber alguns como ;Operaçao com numeros naturais e fraionarios; Adiçao,Subtraçao; Multiplicaçao; Divisao;Problemas envolvendo as quatro operaçoes;Noçoes de conjunto;Sistema Metrico Decimal; Sistema Monetario Brasileiro; Numero e Grandezas direta e Inversamente Proporcionais; Regra de tres simples e composta; Porcentagem; Juros;Geometria no plano e no Espaço; Sistema de Medidas Legais; Resoluçao de situaçoes-problema; Polinonimo;Perimetro Equaçoes do 1 e 2 graus ; Estrutura Logica de Argumentaçao;Diagramaçao logica.

  32. Eu conheço uma fórmula mais fácil gente: A=b.h/2

    Espero ter ajudado,pq mat. eh mesmo uma matéria complicadinha…

  33. Eu tava com 2 paginas abertas ao mesmo tempo,aí me confundi…

  34. Eu gostei,muito obrigado,me ajudou muito na hora de achar o perímetro de um triângulo,bom minha professoura explicou assim:
    Um quadrado,que os lados são 20.mais na verdade,ela dividiu por 4,n sei porque,assim,ficou,todos os lados 10 porque:4×10=40,eu não entendi foi isto…
    Você poderia me explicar porfavor

  35. Estou precisando de exercicios de matematica: Operaçao com numeros naturais e fraionarios; Adiçao,Subtraçao; Multiplicaçao; Divisao;Problemas envolvendo as quatro operaçoes;Noçoes de conjunto;Sistema Metrico Decimal; Sistema Monetario Brasileiro; Numero e Grandezas direta e Inversamente Proporcionais; Regra de tres simples e composta; Porcentagem; Juros;Geometria no plano e no Espaço; Sistema de Medidas Legais; Resoluçao de situaçoes-problema; Polinonimo;Perimetro Equaçoes do 1 e 2 graus ; Estrutura Logica de Argumentaçao;Diagramaçao logica.

  36. gostei muito ,é bastante interessante. Só gostaria que houvesse mais exercicios ,de encontrar o perimetro , com cosseno, seno , tangente . Obrigada (:

  37. luis gustavo,ela fez certo pois,se for dividir pela metade o quadrado se torna um triangulo

  38. eu adorei esta pagina da net costaria de entrar mais vezes
    ah e adorei tanbem os comentarios saao muitos legaIS

  39. Eu entendi.Porém, quero saber como encontrar o valor de cada lado…..para entao soma-los.

  40. Se você tiver trabalhando em planos cartesianos, ou geometria analítica,é só usar o teorema de Pitágoras!
    a²=b²+c²

  41. [email protected]
  42. Alguem pode me ajudar e me dar um exemplo mais completo de como se resolve o perimetro de um triangulo ?! :p 😀

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